Thực đơn
Hệ tọa độ Descartes Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều)Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x'Ox, y'Oy, z'Oz mà trên đó đã chọn 3 véc-tơ đơn vị i → {\displaystyle {\vec {i}}} , j → {\displaystyle {\vec {j}}} , k → {\displaystyle {\vec {k}}} sao cho độ dài của 3 véc-tơ này bằng nhau
Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.
Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.
Trục z'Oz (hay trục Oz) gọi là trục cao.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ
3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một
Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi bộ số M(x,y,z). và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi là cao độ của điểm M.
Tính chất
Trong không gian, cho vectơ a → = x i → + y j → + z k → {\displaystyle {\vec {a}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}} , khi đó bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vecto a → {\displaystyle {\vec {a}}} .
Ký hiệu: a → = ( x ; y ; z ) {\displaystyle {\vec {a}}=(x;y;z)}
Cho 2 điểm A ( x A ; y A ; z A ) {\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})} và B ( x B ; y B ; z B ) {\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})} , khi đó ta có A B → = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A}\right)}
Cho điểm M ( x M ; y M ; z M ) {\displaystyle M(x_{M};y_{M};z_{M})} , khi đó ta có O M → = ( x M ; y M ; z M ) {\displaystyle {\vec {OM}}=(x_{M};y_{M};z_{M})}
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})} , khi đó | a → | = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 {\displaystyle \left\vert {\vec {a}}\right\vert ={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}} là độ dài của vectơ a → {\displaystyle {\vec {a}}}
Cho 2 điểm A ( x A ; y A ; z A ) {\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})} và B ( x B ; y B ; z B ) {\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})} , khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 {\displaystyle AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}}
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})} và b → = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) {\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})} . Gọi α {\displaystyle \alpha } là góc giữa 2 vecto a → {\displaystyle {\vec {a}}} và b → {\displaystyle {\vec {b}}} . Khi đó
cos ( α ) = a → . b → | a → | | b → | = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) {\displaystyle \cos(\alpha )={{\vec {a}}.{\vec {b}} \over \left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert }={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} \over {\sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})}}}}
sin α = | [ a → ; b → ] | | a → | | b → | {\displaystyle \sin \alpha ={\left\vert [{\vec {a}};{\vec {b}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert }}
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})} ta có k a → = ( k a 1 ; k a 2 ; k a 3 ) {\displaystyle k{\vec {a}}=(ka_{1};ka_{2};ka_{3})}
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})} và b → = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) {\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})} ta có
Cho đoạn thẳng AB có A ( x A ; y A ; z A ) {\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})} và B ( x B ; y B ; z B ) {\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})} , Khi đó I ( x A + x B 2 ; y A + y B 2 ; z A + z B 2 ) {\displaystyle I\left({x_{A}+x_{B} \over 2};{y_{A}+y_{B} \over 2};{z_{A}+z_{B} \over 2}\right)} là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB
Cho △ A B C {\displaystyle \bigtriangleup ABC} có A ( x A ; y A ; z A ) {\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})} , B ( x B ; y B ; z B ) {\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})} và C ( x C ; y C ; z C ) {\displaystyle C(x_{C};y_{C};z_{C})} , khi đó G ( x A + x B + x C 3 ; y A + y B + y C 3 ; z A + z B + z C 3 ) {\displaystyle G\left({x_{A}+x_{B}+x_{C} \over 3};{y_{A}+y_{B}+y_{C} \over 3};{z_{A}+z_{B}+z_{C} \over 3}\right)} là tọa độ trọng tâm của △ A B C {\displaystyle \bigtriangleup ABC}
Thực đơn
Hệ tọa độ Descartes Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều)Liên quan
Hệ Mặt Trời Hệ miễn dịch Hệ sinh thái Hệ điều hành Hệ thống giao thông Việt Nam Hệ đo lường quốc tế Hệ động vật Việt Nam Hệ nhị phân Hệ thống nội màng Hệ khứu giácTài liệu tham khảo
WikiPedia: Hệ tọa độ Descartes http://mathworld.wolfram.com/CartesianCoordinates.... http://www.ctu.edu.vn/coursewares/supham/hhgiaitic... https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Coordi...